Vektoren: Skalarprodukt: Orthogonalität und Parallelität
In diesem Kapitel lernen wir die Beziehung zwischen Vektoren und ihrem Winkel zueinander kennen. Das Skalarprodukt ist ein wichtiges Werkzeug, um die Ähnlichkeit von Vektoren bezogen auf ihre Richtung zu bestimmen.

by Rebecca Baumeister

Quizziz
Skalarprodukt -
eine quantitative Aussage
Das Skalarprodukt gibt eine quantitative Aussage über den Winkel und die Länge der Projektion eines Vektors auf den anderen. Es sagt etwas darüber aus, inwiefern ein Vektor in die Richtung des anderen zeigt.
1
Maximales Skalarprodukt
Die Vektoren sind kollinear und parallel. Sie zeigen in die gleiche Richtung (Winkel 0°). Das Skalarprodukt erreicht hier seinen maximalen Wert.
2
Positives Skalarprodukt
Die Vektoren zeigen in eine ähnliche Richtung (Winkel zwischen 0° und 90°).
3
Skalarprodukt ist Null
Die Vektoren stehen in einem 90° Winkel zueinander. Die Vektoren haben dann keinen gemeinsamen Richtungsanteil.
4
Negatives Skalarprodukt
Die Vektoren sind antiparallel. Sie zeigen in entgegengesetzte Richtungen (Winkel zwischen 90° und 180°). Das Skalarprodukt erreicht sein Minimum bei 180°.
Berechnung des Skalarprodukts
Algebraische Form
Das Skalarprodukt zweier Vektoren
\overrightarrow{a} =\left( \begin{array}{l}a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3}\end{array} \right) ,\ \overrightarrow{b} =\left( \begin{array}{l}b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3}\end{array} \right)
wird berechnet durch:
Vektor a · Vektor b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3
Geometrische Form
Alternativ kann das Skalarprodukt auch über den eingeschlossenen Winkel φ berechnet werden:
a · b = |a| · |b| · cos(φ)
  • |a| und |b| sind die Längen der Vektoren
  • φ ist der Winkel zwischen den Vektoren

Beispiel 1 "händisch" berechnen

Berechne das Skalarprodukt der Vektoren \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} Ohne CAS (händisch) Lösung \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 \vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} = \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) + (-1) \cdot 5 = = 8 - 6 - 5 = -3

CAS

dotP(Vektor 1, Vektor 2) Berechne mit dem CAS das Skalarprodukt von : Lösung

Lösung Skalarprodukt

Skalarprodukt.mov

Beispiel

Berechne den Winkel zwischen den Vektoren

Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren
Das Skalarprodukt zweier Vektoren wird berechnet, indem die Komponenten der Vektoren multipliziert und die Produkte addiert werden.
Mit dem CAS heißt das :
Definiere beide Vektoren vorher.
dotP(a,b) Steht für das Skalarprodukt
norm(a) bzw. norm(b) steht für die Länge eines Vektors.
Der Normalenvektor
Ein Vektor, der senkrecht zu einem anderen Vektor steht, wird Normalenvektor genannt. Sein Skalarprodukt mit dem anderen Vektor ist Null.
Anwendungen des Skalarprodukts
Das Skalarprodukt hat zahlreiche Anwendungen in der Physik und Geometrie, z.B. bei der Berechnung von Arbeit, Kraft und Winkel.
Zusammenfassung und Ausblick
Das Skalarprodukt ist ein wichtiges Werkzeug, um die Beziehung zwischen Vektoren und ihrem Winkel zu verstehen. In den nächsten Kapiteln werden wir weitere Anwendungen des Skalarprodukts in der Vektorrechnung kennenlernen.